14．共分散分析（ANCOVA：分散分析に回帰分析を応用した手法）

2022年9月17日2022年9月18日

14．共分散分析（ANCOVA：分散分析に回帰分析を応用した手法）

• 分散分析（ANOVA：ANalysis Of VAriance）
• 共分散分析（ANCOVA：ANalysis of CO–VAriance）

（１）共分散分析（ANCOVA）は、分散分析（ANOVA）と同じく「分散を使った母平均の検定」を行う

共分散分析（ANCOVA）は、分散分析（ANOVA）と同じように、
基本的には、「群間比較」（平均値の比較）を目的としたパラメトリックな解析手法です。

• 帰無仮説 H0：群間の主効果が同じ（平均に差がない）
• 対立仮設 H1：群間の主効果に差がある（平均に差がある）

１）共分散分析（ANCOVA）は、共変量の影響を取り除いた「群間比較」（平均値の比較）を行う

共分散分析（ANCOVA）は、説明変数の中に、共変量（平均値に影響を与える補助的な変数（体重や年齢など））があった場合には、その共変量の影響を取り除いて、「群間比較」（平均値の比較）を行うことができる解析手法になります。

ここで、「平均値に影響を及ぼすデータ（共変量）が群間で異なっていれば、それがいわゆる交絡因子になります」。（吉田2019,p.161）
つまり、共分散分析（ANCOVA）は、交絡因子（共変量）の影響を小さくすることにつながる手法であるため、統計的検定を行う上で大きなアドバンテージとなります。

２）共分散分析（ANCOVA）では、共変量（連続変数）を説明変数（X軸）とした回帰直線を引く

共分散分析（ANCOVA）は、分散分析（ANOVA）と回帰分析を組み合わせた手法とも言われます。

分散分析（ANOVA）の説明変数は、集団（例えば、A群、B群、そしてC群）などのカテゴリー変数（要因）のみです。
これに対して、共分散分析（ANCOVA）の説明変数には、カテゴリー変数（要因）に加えて、連続変数（共変量）が必須です。

そして、この連続変数（共変量：X軸）と目的変数（Y軸）との関係を、回帰直線で表します。
つまり、全てのデータを含む散布図の中に、横軸を共変量とする各群ごとの回帰直線を複数引きます。
その上で、各群ごとの回帰直線の差を検定します。（ただし、以下のような条件がある） 

• 群間で回帰直線が平行であること
• 回帰係数がゼロでないこと
  （回帰係数がゼロならば、共変量を含めず、通常の分散分析を行う）

なお、共分散分析（ANCOVA）のカテゴリ変数の数（群の数）は、2群または3群以上です。
したがって、2群の場合には、t検定に共変量の要素を加えた分析ということになります。
注）分散分析（ANOVA）は、2群の場合も可能であり、その結果はStudentのt検定と一致する。

（２）A社とB社の年収差には、それぞれの社の平均年齢が影響を与えているか

一般的には、日本国内では、未だ年齢が上がるにつれて、それなりに年収アップすると考えられています。
（以下、吉田2019,pp.162-168参照）

【例：A社とB社の年収を比較する】

• A社の平均年収：500万円（SD：50万円）、平均年齢：35歳（SD：5歳）
• B社の平均年収：550万円（SD：50万円）、平均年齢：40歳（SD：5歳）

A社とB社の平均年収の差は、
本当に、A社とB社の会社の違い（給与水準の違い）のみによるものなのか、
それとも、両者の従業員の平均年齢の違い（年齢という交絡因子の違い）によるものなのか。

• 年収＝a1×会社＋a2×年齢＋b＋誤差（共分散分析）
  （共分散分析では、カテゴリカル変数＋連続変数）
• Y（体重）＝a×X1（身長）＋c×X2（年齢）＋b＋誤差（重回帰分析）
  （重回帰分析では、複数の連続変数のみでカテゴリカル変数無し）

共分散分析は、分散分析（あるいはt検定）と回帰分析を合わせたような分析手法と考えることができる。
ここでは、単純なt検定の結果と共分散分析の結果を比べてみる。
（実際には、上記条件に当てはまるような乱数を発生させて、解析をしている）

• A社とB社の差 ：平均年収の差58.8万円、P値<0.0001（t検定の結果）
• 同上、年齢で調整後：平均年収の差23.0万円、P値0.0951 （共分散分析の結果）

t検定では、A社とB社の平均年収を単純に比較している。
つまり、x軸（年齢）は全く考慮せず、Y軸のみの比較になる。
両社の平均年収の差は、単純に50万円（58.8万円）である。

共分散分析（ANCOVA）では、年齢（共変量）で調整をする。
X軸（共変量：年齢）、Y軸（目的変数：年収）として、
それぞれの群ごとに平行な直線（回帰直線）を引く。
その上で、同じ共変量同士（同じ年齢同士）のY（年収）の差を比較する。

年齢（共変量）で調整すると、両群の平均年収の差が小さくなり、逆にP値が大きくなっている。
ここでは、平均年収の差は、23.0万円となる。
t検定の場合の58.8万円と比べて、その差が小さくなっていることが分かる。

その結果、例えば、有意水準α=0.05とするならば、
有意差有り（P値<0.0001）だったものが、有意差無し（P値0.0951）になるという結論の違いが出てくる。
（両社の社員の平均年齢を考慮すると、両社の平均年収の差に有意差があるとは言えない）

• 吉田寛輝著『いちばんやさしい医療統計』アトムス社（2019年）
• 神田善伸著『EZRでやさしく学ぶ統計学』中外医学社（2020年）
• 阿部真人著『統計学入門』ソシム社（2021年）
• 文部省認定社会通信教育『現代統計実務講座 テキスト１』実務教育研究所（1965年）