10．カイ二乗検定（分割表：独立性の検定）

2022年9月13日2022年9月20日

10．カイ二乗検定（分割表：独立性の検定）

（１）はじめに

カイ二乗検定とは、カイ二乗分布を利用する検定方法の総称です。
つまり、カイ二乗検定では、検定統計量からP値を求めるのに、カイ二乗分布を用います。
検定そのものの考え方は、t分布を利用するt検定の場合と同じです。

カイ二乗検定の解析対象（アウトカム）は、カテゴリカル変数です。
ノンパラメトリックな検定であり、2群またはそれ以上の群（対応のないデータ）が対象です。

カイ二乗検定は、分割表（クロス集計表：例えば2×2表）の独立性の検定で多く使われます。
例えば、薬効の有無の検定などがそうです。
なおここで、独立しているとは、複数の変数間で関連がないことを言います。

カイ二乗検定は、独立性の検定以外でも、母分散の区間推定や分布の適合度検定などで使われます。
ただし、一般的には、カイ二乗検定と言えば、独立性の検定を指す場合が多いです。

（２）フィッシャーの正確確率検定との比較（カイ二乗検定との使い分け）

独立性の検定について、一般的には、カイ二乗検定よりもフィッシャーの正確確率検定の方が望ましいと言えます。
フィッシャーの正確確率検定は、「正確」に確率（P値）を計算する手法です。
例数にあまり左右されることもありません。

カイ二乗検定は、カイ二乗分布を用いた「近似」の手法になります。
例数が少ない場合には、使いにくい手法です。
ただし、例数が多い場合には、カイ二乗検定でも可です。

（３）独立性のカイ二乗検定の実際

ここでは、例として、対応のない2群（A群とB群）のカイ二乗検定を考えてみます。
具体的には、2×２分割表（クロス集計表）になります。 

• A群（薬剤群）：データ数m
• B群（コントロール群）：データ数n 

• 帰無仮説H0：薬剤と効果は独立している（お互いに関連がない→薬効がない）
• 対立仮説H1：薬剤と効果は独立していない（お互いに関連がある→薬効がある） 

カイ二乗検定では、観測値と期待度数との差を求め、そこから、2群の間で関連性があるかどうか、つまり、2群が独立しているかどうかを検討します。

１）期待度数を算出した分割表を作成する 

期待度数とは、各カテゴリー間で関連がなかったとした場合、得られるであろう値（期待値）のことです。
次の手順で算出します。

まずは、元の観察データを準備します。 

薬剤群とコントロール群で薬効の有無をみた2×2表（元の観察データ）

薬剤群：効いた（13）、効かなかった（ 7）、小計（20）
コントロール群：効いた（ 5）、効かなかった（15）、小計（20）
合計：効いた（18）、効かなかった（22）、合計（40）

期待度数を算出するには、薬剤群とコントロール群では、関連性がない（独立している）として、数値を平等に案分します。以下のとおりです。 

◎効いた例は、全体で18例（薬効群13＋コントロール群5）です。
それを、薬剤群（20）とコントロール群（20）で、20対20に案分します。

• 薬剤群（効いた例）：18×薬効群の割合（20／（20＋20））⇒9例
• コントロール群（効いた例）：18×コントロール群の割合（20／（20＋20））⇒9例 
  （薬効群とコントロール群が同数なので、案分後の数値は同数になる）

◎効かなかった例は、全体で22例（薬効群7＋コントロール群15）です。
それを、薬剤群（20）とコントロール群（20）で、20対20に案分します。

• 薬剤群（効かなかった例）は、22×薬効群の割合（20／（20＋20））⇒11例
• コントロール群（効かなかった例）は、22×コントロール群の割合（20／（20＋20））⇒11例 
  （薬効群とコントロール群が同数なので、案分後の数値は同数になる）
  

以上から、次の分割表（期待度数で置き換えたもの）が作成できます。 

薬剤群：効いた（  9）、効かなかった（11）、小計（20）
コントロール群：効いた（  9）、効かなかった（11）、小計（20）
合計：効いた（18）、効かなかった（22）、合計（40） 

２）観測値と期待度数の差を求める 

計算式は、以下のとおりです。 
（観測データ － 期待度数）^2／期待度数 

• 薬剤群（効いた例）： (13-9)^2/9 ⇒ 1.78
• 薬効群（効かなかった例）：(7-11)^2/11 ⇒ 1.45
• コントロール群（効いた例）：(5-9)^2/9 ⇒ 1.78
• コントロール群（効かなかった例）：(15-11)^2/11 ⇒ 1.45 

以上から、次の分割表（観測値と期待度数の差で置き換えたもの）が作成できます。  

• 薬剤群：効いた（1.78）、効かなかった（1.45）
• コントロール群：効いた（1.78）、効かなかった（1.45） 

３）検定統計量（カイ二乗値） 

検定統計量（カイ二乗値）＝Σ（（観測データ － 期待度数）^2／期待度数）

カイ二乗値は、分割表（観測値と期待度数の差で置き換えたもの）の4つの数字を足し合わせるだけです。 

カイ二乗値＝1.78+1.45+1.78+1.45 ⇒ 6.46

 ４）自由度を求める 

2×2分割表では、4つのセルのうち1つのセルの値が決まれば、残りの3つは自動的に決まってしまいます。
つまり、自由度は1ということになります。 

一般的には、m×n分割表の自由度は、
（m-1）×（n-1）です。 

５）カイ二乗分布表と有意差判定 

カイ二乗値：6.46
自由度：1 

カイ二乗表から、
自由度f=1、P＝0.05に対するカイ二乗値は、3.84です。

カイ二乗値＝6.46＞3.84（上側5％点）

したがって、帰無仮説は棄却されます。
有意水準α=0.05で、統計的に有意な差があることが分かります。
つまり、薬剤群かコントロール群かによって、「効く・効かないが違ってくる」と結論付けられます。

• 吉田寛輝著『いちばんやさしい医療統計』アトムス社（2019年）
• 神田善伸著『EZRでやさしく学ぶ統計学』中外医学社（2020年）
• 阿部真人著『統計学入門』ソシム社（2021年）
• 文部省認定社会通信教育『現代統計実務講座 テキスト１』実務教育研究所（1965年）