３．要約統計量とは（平均値、中央値や標準偏差など）

2022年8月31日2022年9月11日

３．要約統計量とは（平均値、中央値や標準偏差など）

【重要】統計の役割には、大きく分けて2つあります。
それは、データの特徴をつかむことと、母集団を推定することです。
要約統計量は、データの特徴をつかむために使用します（記述統計）。
（母集団を推定することは、推測統計に属します）
⇒ 推測統計：統計的検定とは（標本から母集団を推定する）

（１）要約統計量とは

要約統計量とは、データの特徴を分かりやすく表現するために、何らかの計算をして得られる値のことです。
ここで、要約とは、より簡単に分かりやすく表現する（記述する）ことを言います。
そして、統計量とは、データに対して、何らかの計算をして得られる値のことです。
（阿部2021,p.48、要約）

要約統計量の代表的なものとして、平均値（連続変数の場合）があります。
平均値を出したりグラフや表を使って、分かりにくいデータを分かりやすくすることを、記述統計学と言います。

要約統計量（記述統計量）に含まれる情報量は、非常に多く、決しておろそかにすることはできません。

（２）データの種類と要約統計量

１）連続変数：

平均値、標準偏差、標準誤差
中央値、四分位範囲
範囲、95％信頼区間など

２）カテゴリカル変数：
例数、件数、割合（％）など

３）生存時間データ：
中央値、95％信頼区間など

４）カウントデータ：
総件数、一定時間当たりの件数、発生件数など

（３）要約統計量を算出する（データはバラつく）

１）データを見える化する（可視化 => グラフ化）

統計を扱うには、データはバラつくものである、という視点が欠かせません。

データは、ある範囲にバラついて分布しています。
データは、何らかの特徴を持ってバラついています。
このバラつき具合（データの偏りや形など）のことを、分布の特性と言います。

連続変数が1つの場合、データのバラつき具合（分布の特性）を見るには、まずはヒストグラム（縦棒グラフ）を描いてみるのがよいでしょう。
グラフ化することによって、データの偏りや形など（分布の特性）を、視覚的に捉えることができるようになります。
注）2つの連続変数の可視化であれば、散布図があります。

連続変数の場合、代表的な要約統計量としては、平均値と中央値があります。
この二つの要約統計量は、分布の特性（データの偏りや形など）に応じて、以下のように使い分けます。

２）平均値、分散と標準偏差（データが左右ほぼ対称にバラつく場合）

データが、左右ほぼ対称にバラついているとき、
ヒストグラムの形は、左右対称に近い釣り鐘型（身長や体重などの場合）になります。
そして、平均値が、最頻値（ヒストグラムのデータが一番集中している部分）の近くにあります。

データが、左右ほぼ対称にバラついているときは、
まず、分布の中心を表す要約統計量（点推定値）として、平均値を計算します。
さらに、平均値からのバラつきの大きさ（分布の広がり）を示す値として、標準偏差を計算します。
標準偏差も要約統計量の一つであり、平均値に対応するデータのバラつき指標になります。

◎分散（variance）＝偏差平方和（偏差の2乗を全て足したもの）／データ数

偏差とは、各データと平均値の差のことです。
偏差を全て足し合わせると、必ずゼロになるので、
バラつき（分散）の計算には、それぞれの偏差の2乗（偏差平方）を用います。
偏差平方を全て足し合わせたものが、偏差平方和です。

◎標準偏差（standard deviation：SD）＝√分散

分散は、偏差の2乗を用いて計算しているので、
単位（dimension）をそろえるために、ルート（正の平方根）をとります。

３）中央値、四分位範囲（データが左右どちらかに極端に偏る場合）

データのバラつき具合が、左右対称から極端に外れる場合、
例えば、勤労者世帯の平均貯蓄額などでは、ヒストグラムを描くと、「値がゼロ（貯蓄額ゼロ）」の世帯（左端の数）が最も多く、そこから順に貯蓄額の多い方（右端）に向って、世帯数が減少していく様子がよく分かります。

こうした場合、平均値は、一部の富裕層の貯蓄額（外れ値）に引っ張られて、実態よりも大きな額になってしまっています。
実態をできる限り正確に把握するには、中央値（真ん中の値）も一緒に算出することです。
中央値（真ん中の値）は、外れ値の影響を受けることなく、常に全てのデータの真ん中を示してくれます。

データのバラつき具合が、左右対称から極端に外れる場合は、
まず、分布の中心を表す要約統計量（点推定値）として、平均値ではなく中央値を選びます。
さらに、中央値からのバラつきの大きさ（分布の広がり）を示す値として、四分位範囲を求めます。
四分位範囲も要約統計量の一つであり、中央値に対応するデータのバラつき指標になります。

中央値：データを大小の順番にならべたときの真ん中の値（第2四分位数）のこと。
四分位範囲：（interquartile range：IQR）
「データの25％点」（第1四分位数）と「データの75％点」（第3四分位数）の範囲。
つまり、全データの50％が含まれる範囲のことであり、必ず中央値を含んでいる。

参考）血液検査（AST、ALT）などでは、少数例で非常に高い数値を示すことがあり、分布が右に裾を引く場合がある。

→ヒストグラムに加えて、箱ひげ図も作成するとよい。
→「外れ値の取り扱い方」詳細有り。

注）以下のような組み合わせはあり得ない。

・平均値と四分位範囲
・中央値と標準偏差（SD）

つまり、平均値（点推定値）と標準偏差（その分布の広がり）がセットになります。
また、中央値（点推定値）と四分位範囲（その分布の広がり）がセットになります。

注）カテゴリカル変数、生存時間データ、そして、カウントデータについては、別途まとめる。

• 吉田寛輝著『いちばんやさしい医療統計』アトムス社（2019年）
• 神田善伸著『EZRでやさしく学ぶ統計学』中外医学社（2020年）
• 阿部真人著『統計学入門』ソシム社（2021年）
• 文部省認定社会通信教育『現代統計実務講座 テキスト１』実務教育研究所（1965年）