９．ウィルコクソンの順位和検定（対応のないノンパラメトリック検定）

2022年9月10日

９．ウィルコクソンの順位和検定（対応のないノンパラメトリック検定）

対応のないt検定（パラメトリック検定）のノンパラメトリック版と言えます。

（１）t検定との比較

ウィルコクソンの順位和検定の特徴は、以下のとおりです。

• t検定と同じく、解析対象（アウトカム）は、連続変数である。
• パラメトリックなt検定（対応のない場合）に対するノンパラメトリック版と言える。
• マン・ホイットニー（Mann-Whitney）のU検定と実質的に同じである。

t検定は、パラメトリックな（何らかの分布を仮定する）検定です。
そうした中で、特に、正規分布に従うことを仮定しています。
t検定は、正規分布を仮定するとき、"有意差を出しやすい"検定です。
逆に、正規分布でなければ、"有意差を出しにくい"検定です。

ウィルコクソンの順位和検定は、ノンパラメトリックな（分布を何も仮定しない）検定です。
どのような分布であっても、あるいは分布がなくても、"有意になりやすさ"は一定です。

したがって、データが正規分布に従わないリスクを考えた場合、常にノンパラメトリックな検定をするとしても、全く何の問題もありません。
ある意味、ノンパラメトリックな検定は、オールマイティーだと言えるかもしれません。
ただし、現実的には、t検定が多く使われています。

（２）ウィルコクソンの順位和検定（Wilcoxon rank sum test）

対応のない2群（A群とB群）によるノンパラメトリック検定になります。

１）帰無仮説と対立仮説は、次のようになります。

• 帰無仮説H0：A群の分布＝B群の分布
• 対立仮説H1：A群の分布≠B群の分布
  （A群のデータ数：m、B群のデータ数：n）

２）データの大小を"順位"に変換する

Ā群とB群の実際のデータは、以下のとおりとします。

• A群のデータ数（体重kg）：m（55,63,58,49,71）
• B群のデータ数（体重kg）：n（64,70,61,57,67）

2群のデータを全てひとまとめにして、小さい順に並べます。
それらのデータの一つひとつに、1から順番に"順位"をつけます。

2群の実際のデータを、この"順位"（数値：1、2、3・・・）で置き換えます。

• A群のデータ：5つ（2,6,4,1,10）
• B群のデータ：5つ（7,9,5,3,8）

ここでは、例えば外れ値があったとしても、順位には何ら変動を与えないので、検定結果に影響は与えません。
（t検定であれば、平均値が異なってくる）

３）検定統計量を算出する（順位和）

サンプルサイズが少ない方の群に割り当てられた順位の和（順位和） を計算します。
この順位和が求める検定統計量になります。

• A群のデータ：5つ（2,6,4,1,10）→順位和23
• B群のデータ：5つ（7,9,5,3,8）→順位和32

４）検定統計量とウィルコクソンの順位和検定の数表を突き合わせる

有意水準5% (α=0.05) の数表
（N1,N2）＝（5,5）→17/38

５）P値と有意水準（通常は、両側5％）を比較する

A群、B群の順位和（23、あるいは32）は、17～38の間に入っているので、
「帰無仮説H0：A群の分布＝B群の分布」は否定できない。

つまり、「A群とB群の分布には差があるとは言えない」と結論付ける。

（３）その他

対応のあるt検定（パラメトリック）に対して、ウィルコクソンの符号順位検定（ノンパラメトリック）が対応します。

ここで、同じくノンパラメトリックな検定であるウィルコクソンの順位和検定（対応のない場合）とウィルコクソンの符号順位検定（対応のある場合）を混同しないことが肝要です。

• 吉田寛輝著『いちばんやさしい医療統計』アトムス社（2019年）
• 神田善伸著『EZRでやさしく学ぶ統計学』中外医学社（2020年）
• 阿部真人著『統計学入門』ソシム社（2021年）
• 文部省認定社会通信教育『現代統計実務講座 テキスト１』実務教育研究所（1965年）