４．正規分布と95％信頼区間（点推定から区間推定へ）

2022年9月1日2022年9月11日

４．正規分布と95％信頼区間（点推定から区間推定へ）

連続変数の要約統計量として、最も一般的なのは、平均値（点推定値）です。
この点推定値に対して、ある一定の幅を持たせて考えようとするのが、95％信頼区間（区間推定値）になります。
そして、この95％信頼区間を考える上では、正規分布の理解が欠かせません。

（１）正規分布（統計で最も重要な分布）

正規分布は、統計にとって最も重要な分布（確率分布）です。
身長や体重など世の中のデータの多くが、正規分布に従うとされています。
そこで、正規分布は、95％信頼区間や統計的検定を考える基礎になっています。

１）正規分布のグラフの特徴は、以下のとおりです。

正規分布（Normal distribution）の位置と形は、平均値（μ）と分散（σ^2）で決まります。
そこで、正規分布のことを、 Ｎ（μ, σ^2）と書きます。

• 平均値（μ）を中心にして、左右対称の釣り鐘型である。
  （平均値、中央値、そして最頻値は等しい）
• 平均値（μ）は曲線の位置を定める、標準偏差（σ）は曲線の形を定める。
• 平均値 ± SD（標準偏差） ⇒ 約68.27％のデータが含まれる。
  平均値 ± 2 SD（標準偏差） ⇒ 約95.45％のデータが含まれる。
  平均値 ± 3 SD（標準偏差） ⇒ 約99.73％のデータが含まれる。

以上（そして正規分布表）から、
全体の95％のデータが含まれる範囲は、「平均値 ± 1.96×標準偏差（ SD）」であることが分かります。
（参考：99％の場合、「平均値 ± 2.576×標準偏差（ SD）」となる）

２）標準正規分布を考える

「平均μ、標準偏差σの正規分布Ｎ（μ, σ^2）に従う変量xに、
          Z=（x-μ）/σ
という変換を施すと、Zの平均は0, 分散は1となり、そのうえやはり正規分布に従う。これを、Ｎ（0, 1）と書き、標準正規分布という」。（実務1965,pp.216-217、英数字の表記を少し変更した箇所有り）

Z（スコア）=（x-μ）/σ ⇒ 《偏差》／《標準偏差》になります。
（偏差とは、「個々のデータと平均値との差」のこと）

Zスコアという概念を導入することによって、どのような平均値（μ）と分散（σ^2）を持つ正規分布であっても、標準正規分布Ｎ（0, 1）というただ一つの正規分布に変換することができます。

（２）母平均の95％信頼区間を算出する

統計の役割の一つは、母集団を推定することです。
このとき、母集団全体を扱うのは現実的ではないので、まずは、母集団の一部を抽出して標本とします。
この標本から母集団を推定するには、データを適切に処理して、適切な解釈をすることが大切です。

１）標本平均はバラつく（分布する）

標本の平均値と母集団の平均値とは、直感的には同一の値を取ると期待されます。
ただし、標本はあくまでも母集団の一部です。
両者は、完全に同一の集団ではないので、母集団と標本の平均値同士が一致することは、まずあり得ません。

そこで、標本平均（点推定値）にある幅を持たせて計算をして、母平均μ（真値）はその幅の中に含まれているはずだ、とする考え方が出てきます。
これが、母平均の95％信頼区間（区間推定値）の考え方です。

例えば、母集団から標本の抽出を何回も繰り返すと、その都度、異なった標本平均が得られます。
それらの標本平均は、もちろん母平均とも一致することなく、母平均の周りにバラつく（分布する）と考えられます。
この標本平均が分布する範囲から、母平均の95％信頼区間（区間推定値）を推定することができます。

２）標本平均のバラつき指標を求める（標準偏差（SD）から標準誤差（SE）を算出する）

正規分布を仮定したとき、
平均値からのバラつきの大きさ（分布の広がり）を示す値が、〈標準偏差〉です。

そこで、《「標本」平均》の分布が、正規分布に従うと仮定した場合、
《「標本」平均》からのバラつきの大きさ（分布の広がり）を示す値として、《「標本」平均》の〈標準偏差〉を考えることができます。

一般的に、この「標本平均の標準偏差」のことを、「標準誤差（SE）」と言っています。

標準誤差（SE）＝標準偏差（SD）／√データ数（n）
つまり、標準誤差は、標準偏差をデータ数のルートで割って求めます。
（SD：標準偏差、standard deviation ⇔ SE：標準誤差、standard error）

「標準誤差」も要約統計量（記述統計量）の一つです。

３）母平均の95％信頼区間の意義：

母集団全体の95％のデータが含まれる範囲は、「平均値 ± 1.96×標準偏差（ SD）」です。（既述）
これと同様に考えて、
母平均の95％信頼区間は、「標本平均 ± 1.96×標準誤差（SE）」となります。

これは、100個の信頼区間のうち5個は、信頼区間の範囲内に母平均が含まれない、ことを意味しています。
（注：標本の抽出を100回繰り返すと仮定する。信頼区間 ⇒ 母平均の95％信頼区間のこと）

参考）実務1965,100個の95％信頼区間p.269

なお、ここで「母平均が、95％の"確率"で推定した信頼区間に含まれる」とするのは間違いです。

ところで、P値を見なくても、95％信頼区間を見ただけで、有意かどうかを判断できます。
95%信頼区間が、帰無仮説で設定した数値をまたいでいなければ、有意差があると判断されます。
例えば、t検定（2群の連続変数の比較）では、ゼロをまたいでいなければ、有意差有りとされます。

４）中心極限定理と正規分布

中心極限定理は、正規分布の重要性を証明する基本的な定理です。

「確率変数（連続量でも離散量でもよい）Xiが、母平均μ、母分散σ^2をもつある分布に従うとき、これから無作為に抽出した大きさnの標本平均Ｘの分布は、nが大きくなるにつれて、平均μ、分散σ^2/nの正規分布に近づく」。（実務1965,p.237）

「もとの母集団の分布が何であっても、標本の大きさnがある程度以上大きければ、標本平均Ｘの分布はいつも正規分布に近似できる、という定理は、正規分布の重要性をきわだたせている」。（同,p.238）

「もとの分布が正規型であれば、標本平均Ｘの分布はnのいかんにかかわらず正規型である。また、元の母集団が、正規型からあまりはずれていなければn=10程度で、標本平均Ｘの分布はほぼ正規型になる。なお、指数分布とよばれる著しく非対称な分布からでも、n=50以上になると、標本平均Ｘの分布はほぼ正規型になると考えてよいことが知られている」。（同,p.238）

以上、引用にあたって、英数字の表記を少し変更した箇所があります。

• 吉田寛輝著『いちばんやさしい医療統計』アトムス社（2019年）
• 神田善伸著『EZRでやさしく学ぶ統計学』中外医学社（2020年）
• 阿部真人著『統計学入門』ソシム社（2021年）
• 文部省認定社会通信教育『現代統計実務講座 テキスト１』実務教育研究所（1965年）